Линейная регрессия

Линейная регрессия — это статистический метод поиска прямой линии или гиперплоскости, которая лучше всего соответствует набору точек данных.

Это широко используемый метод прогнозного моделирования, который предполагает линейную зависимость между входными переменными (x) и одной выходной переменной (y).

В линейной регрессии спецификация модели заключается в том, что зависимая переменная (y) представляет собой линейную комбинацию независимых переменных (x). Это выражается математически как:

y = β0 + β1 * x1 + β2 * x2 + ... + βn * xn

где y — зависимая переменная, β0 — отрезок, β1, β2, ..., βn — коэффициенты или веса, связанные с каждой независимой переменной, а x1, x2, ..., xn — независимые переменные.

Чтобы найти наилучшую линию или гиперплоскость, модель линейной регрессии оценивает коэффициенты (β1, β2, ..., βn), которые минимизируют сумму квадратов разностей между наблюдаемой зависимой переменной (y) и прогнозируемой зависимой переменной (ŷ ). Этот процесс известен как оценка методом наименьших квадратов (OLS).

После оценки коэффициентов можно использовать модель линейной регрессии для прогнозирования новых данных. Это делается путем включения оценочных коэффициентов и независимых переменных новых данных в уравнение модели:

ŷ = β0 + β1 * x1 + β2 * x2 + ... + βn * xn

Прогнозируемое значение зависимой переменной (ŷ) представляет собой наилучшую оценку истинного значения зависимой переменной (y) на основе заданных независимых переменных (x).

Линейная регрессия — мощный инструмент прогнозного моделирования, но он имеет некоторые ограничения. Одним из основных ограничений является то, что он хорошо работает только тогда, когда связь между независимыми и зависимыми переменными является линейной. Если связь нелинейная, может потребоваться более сложная модель.

Уравнения оптимизации

Уравнение линейной регрессии обычно выражается как:

y = mx + b

где y — зависимая переменная (вещь, которую мы пытаемся предсказать), x — независимая переменная (вещь, которую мы используем для предсказания), m — наклон линии, а b — точка пересечения с осью y (точка где линия пересекает ось Y).

Чтобы найти оптимальные значения m и b, мы можем использовать технику, называемую градиентным спуском. Это включает в себя начало с начальных предположений для m и b, а затем итеративное обновление этих значений с использованием следующих уравнений:

m = m - скорость_обучения * dm/dm
b = b - скорость_обучения * db/db

где Learning_rate — параметр, определяющий, насколько большой шаг мы делаем в направлении градиента, а dm/dm и db/db — частные производные функции ошибок по m и b соответственно.

Функция ошибки, которую мы используем в линейной регрессии, обычно представляет собой среднеквадратичную ошибку, которая представляет собой среднеквадратичную разницу между прогнозируемыми значениями и истинными значениями. Это определяется следующим уравнением:

ошибка = 1/n * сумма((y_true - y_pred)^2)

где y_true — истинное значение зависимой переменной, y_pred — прогнозируемое значение, а n — количество наблюдений.

Чтобы найти частные производные функции ошибки по m и b, мы можем использовать следующие уравнения:

dm/dm = -2/n * sum(x * (y_true - y_pred))
db/db = -2/n * sum(y_true - y_pred)

Затем мы можем подключить эти уравнения к уравнениям для обновления m и b и повторять до тех пор, пока функция ошибок не достигнет минимума. Это даст нам оптимальные значения для m и b, которые дадут наилучшие прогнозы с использованием линейной модели.

Лучшие и худшие случаи

Линейная регрессия работает лучше всего, когда связь между зависимыми и независимыми переменными является сильной и линейной. Это означает, что по мере того, как независимая переменная увеличивается или уменьшается, зависимая переменная также должна увеличиваться или уменьшаться с постоянной скоростью.

Линейная регрессия будет работать плохо, если связь между переменными слабая или нелинейная. Например, если зависимая переменная увеличивается только тогда, когда независимая переменная превышает определенный порог, линейная регрессия не сможет зафиксировать эту связь.

Кроме того, линейная регрессия может быть чувствительна к выбросам в данных. Если в наборе данных есть несколько точек, которые сильно отличаются от остальных, эти точки могут оказать непропорциональное влияние на линию регрессии и привести к снижению производительности.

В целом, лучший случай для линейной регрессии — это набор данных с сильными линейными отношениями и без выбросов. В худшем случае это набор данных со слабой или нелинейной зависимостью и значительными выбросами.

Компромисс смещения и дисперсии

В линейной регрессии смещение и дисперсия являются двумя источниками ошибок, которые могут повлиять на производительность модели. Смещение относится к разнице между прогнозируемыми значениями и истинными значениями в данных. Высокое смещение может привести к тому, что модель постоянно занижает или завышает истинные значения, что приводит к снижению производительности.

Дисперсия, с другой стороны, относится к изменчивости прогнозируемых значений для данного входа. Высокая дисперсия может привести к тому, что модель будет делать очень изменчивые и непредсказуемые прогнозы, что приведет к снижению производительности.

В линейной регрессии существует компромисс между смещением и дисперсией. Модель с низким смещением и высокой дисперсией будет соответствовать данным, что означает, что она будет очень хорошо соответствовать обучающим данным, но может плохо обобщаться на новые данные. Модель с высоким смещением и низкой дисперсией будет недостаточно соответствовать данным, что означает, что она не будет хорошо соответствовать обучающим данным, а также не будет хорошо обобщаться на новые данные.

Цель линейной регрессии состоит в том, чтобы найти баланс между смещением и дисперсией, чтобы создать модель, которая хорошо соответствует данным и хорошо обобщает новые данные. Этого можно достичь с помощью методов регуляризации, которые штрафуют определенные параметры модели, чтобы предотвратить переобучение.

Приложения

Линейная регрессия — это широко используемый статистический метод, который можно использовать для моделирования взаимосвязи между двумя непрерывными переменными. Он используется во многих реальных приложениях, в том числе:

Экономика: линейную регрессию можно использовать для моделирования взаимосвязи между экономическими показателями, такими как валовой внутренний продукт (ВВП) и уровень безработицы.

Финансы: линейную регрессию можно использовать для моделирования взаимосвязи между ценами на акции и различными факторами, такими как прибыль, дивиденды и процентные ставки.

Медицина: линейную регрессию можно использовать для моделирования взаимосвязи между результатами медицинских анализов и различными факторами, такими как возраст, пол и образ жизни.

Спорт: линейную регрессию можно использовать для моделирования взаимосвязи между результатами спортсменов и различными факторами, такими как тренировки, питание и сон.

В целом, линейная регрессия — это мощный инструмент для понимания взаимосвязи между различными переменными и создания прогнозов на основе этой взаимосвязи. Он широко используется во многих различных областях и может дать ценную информацию о сложных системах реального мира.