Введение

Предположим, нам нужно найти ответ на вопрос примерно такого содержания: Автомобиль трогается с места и проходит некоторое расстояние за несколько секунд с постоянным ускорением. Найдите ускорение автомобиля. В этом сценарии вы должны иметь дело со скоростью автомобиля, расстоянием, затраченным временем, перемещением и т. д. Требуется уравнение движения.

Классическая механика основана на уравнениях движения. Для всех макроскопических тел, движущихся со скоростью, значительно меньшей скорости света, анализ движения проводится с использованием уравнений движения Ньютона. В этой статье мы узнаем об этих законах и их производных вместе с кодом в Kotlin S2.

Движение

Прежде всего, дайте нам знать, что такое движение на самом деле. Как вывел известный ученый сэр Исаак Ньютон, мы можем определить это движение как изменение положения объекта по отношению ко времени. То есть насколько объект переместился за интервал времени. Мы можем представить положение с помощью опорной точки, а затем вычислить расстояние, пройденное объектом от этой опорной точки. Точно так же мы можем рассчитать время, используя часы скорости, которые будут представлять время, необходимое для того, чтобы изменение произошло.

Описания движения

d — расстояние.

s — смещение.

u — начальная скорость.

v — конечная скорость.

a — ускорение.

t — время, необходимое для движения.

Расстояние

Расстояние — это фактическая мера общего изменения положения объекта (за определенный период времени).

Примечание. Поскольку расстояние является скалярной величиной, оно представляет собой только величину, размер или «сколько».

смещение

Перемещение определяется как изменение положения объекта (автомобиля). Стрелка из точки А в точку В представляет собой изменение начального и конечного положения объекта (автомобиля).

Примечание. В отличие от расстояния, смещение является векторной величиной (стрелка), поэтому оно представляет собой как величину, так и направление, т. е. сколько и в какую сторону.

Скорость

Скорость — это мера того, насколько быстро или медленно объект (автомобиль) движется или меняет свое положение. Скорость равна изменению расстояния, пройденного объектом (автомобилем) за каждую единицу времени. Математически скорость — это отношение между расстоянием и временем, т. е. расстояние, деленное на время.

Приведенный выше график дает нам информацию о расстоянии и времени. Используя формулу, мы можем вычислить скорость. Давай сделаем это.

Вопрос. Если автомобиль проехал 15 м за 5 сек. рассчитать скорость.

Примечание. Скорость также является скалярной величиной, поскольку время и расстояние также являются скалярными величинами.

Скорость

Скорость можно определить как скорость изменения перемещения объекта (автомобиля) в единицу времени, например, каждую секунду, каждый час или каждый день. Математически эту скорость изменения положения можно представить как

Глядя на рисунок выше, мы узнаем пару вещей, таких как расстояние, смещение и время, поэтому, используя приведенную выше формулу, мы можем легко рассчитать скорость.

Вопрос: если автомобиль проехал 20 м за 3 секунды, рассчитайте скорость.

Примечание. Скорость — это векторная величина. Он содержит информацию как о величине/размере, так и о направлении.

Ускорение

Ускорение — это скорость изменения скорости объекта во времени. Это то, насколько скорость изменяется в единицу времени. Ускорение также является векторной величиной, и математически мы можем представить его как:

Если ускорение отрицательно, объект замедляется. Если ускорение положительно, то объект ускоряется. Осторожно, ГИБДД!

Уравнения движения

Природа и поведение физической системы с точки зрения движения определяются уравнениями движения. Имеются три уравнения движения.

Вывод уравнений движения алгебраическим методом.

Посмотрим на вывод уравнений движения алгебраическим методом.

1-е уравнение движения

Все мы знаем, что в общем случае ускорение определяется как скорость, с которой скорость тела изменяется с течением времени. То есть, насколько скорость изменяется в каждую единицу времени. Математически это разница конечной и начальной скоростей, деленная на время, необходимое для того, чтобы произошло изменение.

2-е уравнение движения

Представьте себе тело, движущееся с начальной скоростью u при постоянном ускорении a. Скорость тела становится v через время t, а перемещение становится с.

Скорость объекта определяется как скорость, с которой изменяется его смещение, или, альтернативно, смещение изменяется в единицу времени. Мы можем представить это математически как:

После изменения членов мы получаем перемещение s, которое является произведением скорости и периода времени t, когда скорость v постоянна.

перемещение=скорость*время.

Если скорость непостоянна, мы можем использовать среднюю скорость вместо скорости в приведенном выше уравнении и переписать уравнение следующим образом:

3-е уравнение движения

Поскольку мы знаем, что смещение — это скорость изменения положения объекта, т. е.

смещение = средняя скорость * время,

Вывод уравнений движения расчетным методом.

Давайте продемонстрируем вывод уравнения движения с помощью метода исчисления.

1-е уравнение движения

Ускорение объекта постоянно, поэтому мы используем определение мгновенного ускорения частицы. То есть ускорение объекта в момент времени (а не интервал времени).

2-е уравнение движения

Используем 1-е уравнение движения:

3-е уравнение движения

Средняя скорость объекта с постоянным ускорением определяется по формуле:

Вывод уравнений движения графическим методом.

Посмотрим теперь на вывод уравнений движения графическим методом.

На приведенном выше графике скорость-время мы можем четко определить некоторые детали.

  • Скорость тела увеличивается от A до B за время t по единой ставке.
  • BC¯ — это конечная скорость, а OC¯ — общее время t.

Начальная скорость u=OA¯.

Конечная скорость v=BC¯.

1-е уравнение движения

Из графика мы видим, что

2-е уравнение движения

Из графика мы видим, что,

пройденное расстояние = площадь четырехугольника OABC = площадь треугольника ABD + площадь прямоугольника OADC.

3-е уравнение движения

Площадь четырехугольника также можно вычислить следующим образом.

Математическое кодирование

Достаточно теории, давайте теперь перейдем к практическому эксперименту с тем, что мы только что узнали. Сделаем математическое кодирование уравнений движения в S2.

// 1st equation of motion: final velocity
fun v(u : Double, a : Double, t : Double) : Double {
var v = u + a * t;
return v;
}
// compute the final velocity with inputs
// initial velocity = 5.0 m/s, acceleration = 2.0 m/s/s, time = 10 sec
val v = v(5.0, 2.0, 10.0)
// print out the final velocity
v

Здесь мы задаем начальную скорость u=5,0 метров в секунду, ускорение a=2,0 метра в секунду за секунду и время t=10,0 секунд. Результат выглядит следующим образом:

25.0

Мы используем два разных способа вычисления смещения. Сначала воспользуемся вторым уравнением.

// 2nd equation of motion: displacement
fun s_1(u : Double, a : Double, t : Double) : Double {
var s = u * t + 0.5 * a * t * t;
return s;
}
// compute the displacement
// initial velocity = 5.0 m/s, acceleration = 2.0 m/s/s, time = 10 sec
val s_1 = s_1(5.0, 2.0, 10.0)
// print out the displacement
s_1

Вывод следующий.

150.0

В качестве альтернативы мы можем вычислить смещение, используя третье уравнение движения.

// 3rd equation of motion: displacement
// another formula to compute displacement
fun s_2(u : Double, a : Double, t : Double) : Double {
var s = (v*v - u*u) / 2.0 / a;
return s;
}
// compute the displacement
// initial velocity = 5.0 m/s, acceleration = 2.0 m/s/s, time = 10 sec
val s_2 = s_2(5.0, 2.0, 10.0)
// print out the displacement
s_2

Результат выглядит следующим образом:

625.0

Конечная скорость равна квадратному корню из последнего результата.

// print out the final velocity
sqrt(v2)

Выход

25.0

Как и ожидалось, это то же самое, что мы ввели для первых двух уравнений.

Попробуйте уравнения с вашим собственным вводом и числами. Поиграйте с кодом, чтобы увидеть, что вы получите. Интересно проводить эксперименты! Позвольте нам, что вы думаете, и оставьте нам комментарии ниже.

Исходный код можно найти на нашем GitHub:



s2-public/equations_of_motion.ipynb at main · nmltd/s2-public
общедоступный репозиторий для S2 с примерами, данными и т. д. Внесите свой вклад в разработку nmltd/s2-public путем создание учетной записи на GitHub.github.com



Кроме того, вы можете запустить код на S2:

https://s21.nm.dev/hub/user-redirect/lab/tree/s2-public/Blogs/equations_of_motion.ipynb

Заключение

Важно отметить, что мы получили систему уравнений движения без проведения экспериментов или данных. Мы строим теорию исключительно из воображения. Понятия пространства (положения) и времени интуитивно понятны. Мы можем измерить их с помощью линейки и часов. В то время как понятие скорости может быть знакомо из повседневного опыта, понятие ускорения является чисто теоретической конструкцией. Вводя или изобретая «новое» понятие ускорения, мы строим теорию движения и связываем воедино все фундаментальные величины, а именно пространство, время и скорость, используя точные математические уравнения. Это иллюстрирует, как мы можем изобретать новую физическую теорию, используя чистое воображение. Это верно для нашей простой модели движения, но также верно и для гораздо более продвинутых теорий, таких как специальная теория относительности. И Ньютон, и Эйнштейн построили свои новаторские теории, изобретая новые концепции с помощью чистого воображения, фактически не проводя никаких экспериментов или данных. Затем они выражали свои понятия именно с помощью математики.

Посетите https://nm.education/blogs/, чтобы увидеть больше блогов.