Исчисление:

Исчисление — это математическое исследование изменений и движения. Оно разделено на два основных раздела: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление.

Дифференциальное исчисление:
Дифференциальное исчисление изучает скорость изменения и наклон кривых. Производная функции в точке дает мгновенную скорость изменения функции в этой точке.

Пример:
Рассмотрим функцию \(f(x) = 3x² + 2x\). Производная \(f(x)\) по \(x\) равна \(f’(x) = 6x + 2\). Если вы хотите найти наклон касательной к кривой \(f(x)\) в точке \(x = 2\), вы подставляете \(x = 2\) в \(f'(x)\ ), чтобы получить \(f'(2) = 6(2) + 2 = 14\), что является наклоном.

Интегральное исчисление:
Интегральное исчисление занимается накоплением величин и поиском площадей под кривыми. Определенный интеграл от функции на интервале дает площадь под кривой между данным интервалом.

Пример:
Рассмотрим функцию \(g(x) = 2x\) на интервале \([1, 3]\). Определенный интеграл от \(g(x)\) от 1 до 3 равен \(\int_{1}^{3} 2x \, dx = x²\), оцениваемый от 1 до 3, что дает \(9–1 = 8\), представляющая площадь под кривой между \(x = 1\) и \(x = 3\).

Теория множеств:

Теория множеств — это раздел математики, изучающий множества, представляющие собой коллекции различных элементов.

Пример:
Пусть \(A = \{1, 2, 3\}\) и \(B = \{3, 4, 5\}\) — два множества. Объединение \(A\) и \(B\), обозначаемое \(A \cup B\), есть \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). Пересечение \(A\) и \(B\), обозначаемое \(A \cap B\), есть \(\{3\}\).

Линейная алгебра:

Линейная алгебра — это изучение векторов, векторных пространств и линейных преобразований.

Матрица:

Транспонирование матрицы — это операция, которая переворачивает матрицу по ее диагонали. Другими словами, строки исходной матрицы становятся столбцами транспонированной матрицы, а столбцы исходной матрицы становятся строками транспонированной матрицы. В полученной матрице строки и столбцы поменяны местами.

Если у вас есть матрица A с размерами m×n, ее транспонирование, обозначенное как A⊺, будет иметь размеры n×м.

Симметричная матрица — это квадратная матрица, равная собственной транспонированной. Другими словами, матрица A симметрична, если A=A⊺. Это свойство означает, что элементы на главной диагонали матрицы зеркально отражаются относительно главной диагонали.

Математически, если у вас есть квадратная матрица A с размерами n×n, она симметрична, если для всех i и j от 1 до n:

айдж​=аджи​

Это всего лишь вводные примеры, которые дадут вам представление о том, что влекут за собой исчисление, теория множеств и линейная алгебра. Каждая из этих областей весьма обширна и имеет многочисленные применения в различных областях науки, техники и математики.