На первый взгляд комплексные числа могут показаться загадочными. Тем не менее, они, несомненно, играют решающую роль в науке, технике и, естественно, математике. Погрузитесь в игру, и кусочки головоломки начнут складываться вместе!
Почему эти странные числа полезны для нас, спросите вы? Самый логичный ответ заключается в том, что мы просто не сможем решить такие уравнения, как x2 + 1 = 0. Некоторые могут сказать, ну все просто:
x² + 1 = 0
x² = -1
x = ± √-1, но мы знаем, что все, что находится под квадратным корнем, всегда положительно или равно 0. Это наблюдается не только в математике, но и в электротехнике, информатике и даже в квантовых теориях. механика.
История мнимых чисел – действительно увлекательное путешествие. Наши величайшие математики боролись с этими «невозможными» уравнениями, подобными приведенному выше, более пяти столетий. Первое упоминание о мнимом числе было сделано итальянским математиком Рафаэлем Бомбелли в 1500-х годах.
Перенесемся почти на два столетия вперед: Леонард Эйлер ввел обозначение i для квадратного корня из -1. Какая польза от этого i ? Комплексное число — это число, которое можно выразить в виде a + bi, где a и b – действительные числа, а i — мнимая единица измерения, определяемая как
i² = -1. Например, 5+6i — это комплексное число, где «5» называется действительнойчастью, а «3» называется мнимаячасть комплексного числа.
Карл Фридрих Гаусс развил идею графического представления комплексных чисел, что привело к концепции комплексной плоскости.
Слышали ли вы когда-нибудь о сложной плоскости, также известной как плоскость Аргана? Это визуальная площадка для комплексных чисел. Хотя это может показаться сложным, на самом деле это проще, чем вы ожидаете, и отражает знакомую евклидову плоскость.
Точно так же, как мы отображаем действительные числа на линии, комплексные числа имеют свою стадию: горизонтальная ось показывает действительную часть, а вертикальная ось — мнимую. Итак, каждая точка рассказывает уникальную историю комплексного числа, сочетающего в себе реальное и воображаемое. Погрузитесь и наблюдайте, как эти цифры оживают!
Комплексное число a+bi можно представить как точку на комплексной плоскости, где:
- Координата X (горизонтальное положение) — это действительная часть, a.
- Координата Y (вертикальное положение) — это мнимая часть, b.
Например, комплексное число 3+4i будет отображаться как точка (3,4) на комплексной плоскости. Добавим еще два комплексных числа: 1+ 2i и 4i. Для первого комплексного числа у нас уже есть точка, назовем ее A(3,4). Для остальных у нас будут B(1,2) и C(0,4).
Это графическое представление дает представление о природе комплексных чисел и их отношениях, особенно при выполнении таких операций, как сложение или умножение.
Давайте поговорим о работе с комплексными числами, и сначала остановимся на сложениях. Чтобы сложить два комплексных числа, вы просто складываете их действительные части и их мнимые части.
В общем виде формула выглядит примерно так:
(a +bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ;
Сложим 3+4i и 1+2i:
3 + 4i + 1 + 2i = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i
Чтобы вычесть одно комплексное число из другого, необходимо вычесть действительную часть второго числа из действительной части первого числа и мнимую часть второго числа из мнимой части первого числа. Это очень похоже на сложение.
В целом формула выглядит примерно так:
(a + bi)−(c + di)=(a − c)+(b − d)i
Отличная работа! Теперь, когда вы освоили сложение и вычитание комплексных чисел, давайте окунемся в интригующий мир умножения и деления. Умножение комплексных чисел? Все дело в использовании свойства распределения, часто известного как метод FOIL для биномов. Просто не забывайте осторожно перемещаться по воображаемому устройству, и все готово!
Формула выглядит следующим образом:
(a + bi)×(c + di)= ac + adi + bci+ bdi², но очень важно, чтобы мы уже знали, что i2 = -1 при умножении комплексных чисел. Перемножим 2+3i и 4+i.
(2 + 3i)×(4+) = 2×4 + 2×i + 3i×4 + 3i×i = 8 + 2i + 12i — 3 =5+14i
(Примечание: 3i×i=3i²=3×(−1)=−3)
Теперь, когда вы знаете, как складывать, вычитать и умножать, давайте изучим деление. Деление комплексных чисел включает в себя на несколько больше шагов, чем другие арифметические операции, в первую очередь из-за необходимости исключить мнимую единицу из знаменателя. Здесь в игру вступает концепция сопряженного.
Сопряженное, или обозначенное как
где a+bi представляет собой комплексное число, по существу меняет знак мнимой части, чтобы получить сопряженное число.
Когда вы умножаете комплексное число на его сопряженное, результатом является действительное число. А именно:
(a + bi)(a — bi) = a² + b²
Чтобы разделить два комплексных числа, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю. Этот процесс часто называют «рационализацией знаменателя», при котором мнимая часть удаляется из знаменателя, но результат все равно останется комплексным числом.
Хватит теории; давайте погрузимся в реальные приложения! Как уже упоминалось ранее, комплексные числа — это не просто математические чудеса. Они являются лидерами в области инжиниринга, физики и информатики.
В технике одно из выдающихся применений комплексных чисел — переменные цепи. Вот почему:
1. Сигналы переменного тока, которые изменяются синусоидально, представлены в виде векторов — вращающихся векторов или комплексных чисел. Это упрощает изменяющиеся во времени сигналы до статического представления, фиксируя величину и фазовый угол.
2. Используя векторы, закон Ома выглядит так: V = IZ, где V и I — векторы напряжения и тока соответственно. Это делает анализ цепей более алгебраическим и менее дифференциальным.
3. Мощность в цепях переменного тока сложна и включает активную мощность (фактическую работу) и реактивную мощность (энергию, колеблющуюся в цепи).
Подводя итог, можно сказать, что при анализе цепей переменного тока динамическая природа сигналов элегантно преобразуется в статические векторы, что делает математическое исследование более интуитивным. Этот подход имеет решающее значение для понимания того, как схемы реагируют на различных частотах.
Переключившись на физику, приготовьтесь к увлекательномупутешествию. Хотя местность может показаться нетрадиционной, ваш прогресс на данный момент гарантирует, что вы готовы принять вызов. Две выдающиеся концепции, в которых блестят мнимые числа, — это Суперпозиция и уравнение Шредингера. Это не просто причудливые термины; они занимают центральное место в квантовой механике и позволяют глубже понять сложный танец Вселенной. Хотите копнуть глубже?
В квантовой механике частицы не имеют определенных состояний, а существуют в одновременной комбинации нескольких состояний. Это явление называется суперпозицией. Коэффициенты, представляющие эти комбинированные состояния, представляют собой комплексные числа. Когда измерение производится, квантовая система коллапсирует в одно из возможных состояний. Вероятность перехода в определенное состояние определяется квадратом его комплексного коэффициента. Суперпозиция лежит в основе многих квантовых явлений, таких как квантовая интерференция и запутанность.
Уравнение Шредингера является фундаментальным уравнением движения в нерелятивистской квантовой механике. Он описывает, как волновая функция (или квантовое состояние) системы меняется со временем. Это уравнение по своей сути сложное, его решения часто представляют собой комплексные волновые функции. Уравнение может быть зависящим от времени, показывающим эволюцию системы, или независимым от времени, показывающим стационарные состояния системы. Уравнение Шрёдингера обеспечивает мост между абстрактным миром квантовой механики и наблюдаемыми явлениями, направляя предсказания и эксперименты в квантовой сфере.
Комплексные числа играют решающую роль в различных алгоритмах и преобразованиях. Вот разбивка их роли:
Преобразование Фурье:
1. Основы. Преобразование Фурье – это математическая операция, которая разлагает сигнал на составляющие его частоты. Это фундаментальный инструмент обработки сигналов.
2. Комплексная экспонента. Преобразование Фурье использует комплексную экспоненту в качестве своей базовой функции. Эти сложные синусоиды необходимы для представления как амплитуды, так и фазы каждого частотного компонента сигнала.
3. Приложения. Используется во многих приложениях, от обработки звука до анализа изображений. Например, при выравнивании звука преобразование Фурье может изолировать определенные полосы частот для усиления или ослабления.
Несмотря на свою важную роль во многих областях науки, комплексные числа часто понимаются неправильно. Одно из наиболее распространенных заблуждений связано с термином «воображаемые», который используется для их описания. Этот ярлык может означать, что эти цифры не имеют под собой реальной основы. Однако в математике «реальное» и «мнимое» — это всего лишь термины. И действительная, и мнимая части комплексного числа имеют ощутимое применение в различных областях. Например, в электротехнике «действительная» часть может обозначать сопротивление, а «мнимая» часть может обозначать реактивное сопротивление.
Связанное с этим заблуждение состоит в том, что число должно иметь как действительную, так и мнимую составляющую, чтобы его можно было назвать «сложным».
В действительности комплексное число может иметь только действительную часть, только мнимую часть или и то, и другое. Если его мнимая компонента равна нулю, комплексное число по существу является действительным числом.
Наконец, существует мнение, что введение комплексных чисел усложняет задачи. Во многих случаях верно обратное. Комплексные числа часто могут упростить задачи, особенно в таких областях, как обработка сигналов или гидродинамика. Они способны преобразовывать дифференциальные уравнения в алгебраические или более четко выделять определенные математические свойства.
В заключение отметим, что комплексные числа, несмотря на свое название, не являются ни непрактичными, ни слишком сложными. Они являются естественным развитием системы счисления и незаменимы в широком спектре научных и инженерных контекстов. Недоразумения, окружающие их, часто возникают из-за незнания или отсутствия понимания их широкого применения.
Я надеюсь, что после всей этой информации, которую вы получили в этой статье, у вас не болит голова, потому что в этой области комплексные числа особо не помогут. Для тех, у кого не болит голова, кто заинтригован многогранным миром комплексных чисел и хочет копнуть глубже, я собрал несколько ресурсов, на которых можно узнать больше о комплексных числах.
