Kalman 2d фильтр в питоне

Вот моя реализация фильтра Калмана на основе уравнений, приведенных в Википедии. Имейте в виду, что мое понимание фильтров Калмана очень рудиментарно, поэтому, скорее всего, есть способы улучшить этот код. (Например, он страдает от численной нестабильности, обсуждаемой здесь. Насколько я понимаю, это влияет на численную стабильность только тогда, когда Q, шум движения, очень мал. В реальной жизни шум обычно не мал, поэтому, к счастью (по крайней мере, для моей реализации) на практике числовая нестабильность не проявляется.)

В приведенном ниже примере kalman_xy предполагает, что вектор состояния представляет собой 4-кортеж: 2 числа для местоположения и 2 числа для скорости. Матрицы F и H были определены специально для этого вектора состояния: если x является состоянием из 4 кортежей, то

new_x = F * x
position = H * x

Затем он вызывает kalman, который является обобщенным фильтром Калмана. Он является общим в том смысле, что он по-прежнему полезен, если вы хотите определить другой вектор состояния — возможно, 6-кортеж, представляющий местоположение, скорость и ускорение. Вам просто нужно определить уравнения движения, указав соответствующие F и H.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def kalman_xy(x, P, measurement, R,
              motion = np.matrix('0. 0. 0. 0.').T,
              Q = np.matrix(np.eye(4))):
    """
    Parameters:    
    x: initial state 4-tuple of location and velocity: (x0, x1, x0_dot, x1_dot)
    P: initial uncertainty convariance matrix
    measurement: observed position
    R: measurement noise 
    motion: external motion added to state vector x
    Q: motion noise (same shape as P)
    """
    return kalman(x, P, measurement, R, motion, Q,
                  F = np.matrix('''
                      1. 0. 1. 0.;
                      0. 1. 0. 1.;
                      0. 0. 1. 0.;
                      0. 0. 0. 1.
                      '''),
                  H = np.matrix('''
                      1. 0. 0. 0.;
                      0. 1. 0. 0.'''))

def kalman(x, P, measurement, R, motion, Q, F, H):
    '''
    Parameters:
    x: initial state
    P: initial uncertainty convariance matrix
    measurement: observed position (same shape as H*x)
    R: measurement noise (same shape as H)
    motion: external motion added to state vector x
    Q: motion noise (same shape as P)
    F: next state function: x_prime = F*x
    H: measurement function: position = H*x

    Return: the updated and predicted new values for (x, P)

    See also http://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter

    This version of kalman can be applied to many different situations by
    appropriately defining F and H 
    '''
    # UPDATE x, P based on measurement m    
    # distance between measured and current position-belief
    y = np.matrix(measurement).T - H * x
    S = H * P * H.T + R  # residual convariance
    K = P * H.T * S.I    # Kalman gain
    x = x + K*y
    I = np.matrix(np.eye(F.shape[0])) # identity matrix
    P = (I - K*H)*P

    # PREDICT x, P based on motion
    x = F*x + motion
    P = F*P*F.T + Q

    return x, P

def demo_kalman_xy():
    x = np.matrix('0. 0. 0. 0.').T 
    P = np.matrix(np.eye(4))*1000 # initial uncertainty

    N = 20
    true_x = np.linspace(0.0, 10.0, N)
    true_y = true_x**2
    observed_x = true_x + 0.05*np.random.random(N)*true_x
    observed_y = true_y + 0.05*np.random.random(N)*true_y
    plt.plot(observed_x, observed_y, 'ro')
    result = []
    R = 0.01**2
    for meas in zip(observed_x, observed_y):
        x, P = kalman_xy(x, P, meas, R)
        result.append((x[:2]).tolist())
    kalman_x, kalman_y = zip(*result)
    plt.plot(kalman_x, kalman_y, 'g-')
    plt.show()

demo_kalman_xy()

Красные точки показывают зашумленные измерения положения, зеленая линия показывает положения, предсказанные Калманом.

Для моего проекта мне нужно было создать интервалы для моделирования временных рядов, и, чтобы сделать процедуру более эффективной, я создал tsmoothie: библиотека Python для сглаживания временных рядов и обнаружения выбросов векторизованным способом.

Он предоставляет различные алгоритмы сглаживания вместе с возможностью вычисления интервалов.

В случае KalmanSmoother вы можете управлять сглаживанием кривой, объединяя различные компоненты: уровень, тренд, сезонность, длинная сезонность.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from tsmoothie.smoother import *
from tsmoothie.utils_func import sim_randomwalk

# generate 3 randomwalks timeseries of lenght 100
np.random.seed(123)
data = sim_randomwalk(n_series=3, timesteps=100, 
                      process_noise=10, measure_noise=30)

# operate smoothing
smoother = KalmanSmoother(component='level_trend', 
                          component_noise={'level':0.1, 'trend':0.1})
smoother.smooth(data)

# generate intervals
low, up = smoother.get_intervals('kalman_interval', confidence=0.05)

# plot the first smoothed timeseries with intervals
plt.figure(figsize=(11,6))
plt.plot(smoother.smooth_data[0], linewidth=3, color='blue')
plt.plot(smoother.data[0], '.k')
plt.fill_between(range(len(smoother.data[0])), low[0], up[0], alpha=0.3)

Я также указываю, что tsmoothie может выполнять сглаживание нескольких временных рядов векторизованным способом.